Notação científica

Notação científica, também conhecida como padrão ou como notação em forma exponencial, é uma forma de escrever números que acomoda valores demasiado grandes (100000000000) ou pequenos (0,00000000001)^[1] para serem convenientemente escritos em forma convencional.^[2] O uso desta notação está baseado nas potências de 10 ^[3] (os casos exemplificados acima, em notação científica, ficariam: 1 × 10¹¹ e 1 × 10^-11, respectivamente). Como exemplo, na química, ao se referir à quantidade de entidades elementares (átomos, moléculas, íons, etc), há a grandeza denominada quantidade de matéria (mol).^[4]

Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo:

O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza. A mantissa vale de 0 a 10 e a ordem de grandeza, dada sob a forma de expoente, é o número que mais varia conforme o valor absoluto.^[5]

Observe os exemplos de números grandes e pequenos:

• 600.000
• 30.000.000
• 500.000.000.000.000
• 7.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000
• 0,0004
• 0,00000001
• 0,0000000000000006
• 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008

A representação desses números, como apresentada, traz pouco significado prático. Pode-se até pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Porém, em áreas como a física e a química, esses valores são frequentes.^[4] Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 m,^[6] e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 kg.^[7]

Para valores como esses, a notação científica é mais adequada, pois apresenta a vantagem de poder representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos.^[5][8] Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 27 algarismos significativos. Mas isso pode não ser verdade (é pouco provável 25 zeros seguidos numa aferição).^[4]

História

Arquimedes, o pai da notação científica.^[9]

A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes^[9], e descrita em sua obra O Contador de Areia,^[10] no século III a.C.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia existiam no universo. O número estimado por ele foi de 1 × 10⁶³ grãos.^[11]

Há quem pense, Rei Gelão, que o número de grãos de areia é infinito. E quando menciono areia refiro-me não só aquela que existe em Siracusa e no resto da Sicília mas também àquela que se encontra nas outras regiões, sejam elas habitadas ou desabitadas. Mais uma vez, há quem, sem considerá-lo infinito, pense que nenhum número foi ainda nomeado que seja suficientemente grande para exceder a sua multiplicidade. E é claro que aqueles que têm esta opinião, se imaginassem uma massa de areia tão grande como a massa da terra, incluindo nesta todos os mares e depressões da terra preenchidas até uma altura igual à mais alta das montanhas, estariam muito longe ainda de reconhecer que qualquer número poderia ser expresso de tal forma que excedesse a multiplicidade da areia aí existente. Mas eu tentarei mostrar-vos, através de provas geométricas que conseguireis acompanhar que, dos números nomeados por mim e que constam no trabalho que enviei a Zeuxipo, alguns excedem, não só o número da massa de areia igual em magnitude à da terra preenchida da maneira que atrás referi, mas também da massa igual em magnitude à do universo.

– O contador de areia (Arquimedes), pg. 1^[10]

Foi através da notação científica que foi concebido o modelo de representação de números reais através de ponto flutuante.^[12] Essa ideia foi proposta independentemente por Leonardo Torres y Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) e George Robert Stibitz (1939).^[9] A codificação em ponto flutuante dos computadores atuais é basicamente uma notação científica de base 2.^[13]

A programação com o uso de números em notação científica consagrou uma representação sem números sobrescritos, em que a letra e (ou E) separa a mantissa do expoente. Assim, 1,785 × 10⁵ e 2,36 × 10^-14 são representados respectivamente por 1.785E5 e 2.36E-14 (como a maioria das linguagens de programação são baseadas na língua inglesa, as vírgulas são substituídas por pontos).^[9]

Tipos de notação científica

Notação normalizada

Qualquer número pode ser escrito na forma m × 10^e em muitas maneiras, por exemplo, 350 pode ser escrito como 3,5 . 10², 35 . 10¹ ou 350 . 10⁰.^[14][15]

Na notação científica normalizada, o expoente e é escolhido tal que o valor absoluto de m permaneça pelo menos um, mas menos de dez (1 ≤ | m | <10).>350 é escrito como 3,5 . 10². Esta forma permite uma comparação simples dos dois números do mesmo sinal em m, como o expoente e indica o número da ordem de grandeza. Na notação normalizada o expoente e é negativo para um número absoluto com valor entre 0 e 1 (por exemplo, menos de metade é -5 . 10^-1). O 10 e o expoente são geralmente omitidos quando o expoente é 0.^[16]

Em muitas áreas, a notação científica é normalizada desta forma, exceto durante cálculos intermediários, ou quando uma forma não-normalizada, como a notação de engenharia, é desejada. A notação científica (normalizada) é muitas vezes chamada notação exponencial - embora este último termo é mais geral e também se aplica quando m não está restrito ao intervalo de 1 a 10 (como na notação de engenharia, por exemplo) e para outras bases do que 10 (como em 315 . 2²⁰).^[17]

Uso de espaços

Em notação científica normalizada, em E notação e, em notação de engenharia, o espaço (o que, em typesetting pode ser representado por uma largura normal de espaço ou por um fino espaço), é permitido somente antes e depois de "×", na frente de "E" ou "e" pode ser omitido, embora seja menos comum que o faça antes do caractere alfabético.^[18]

Motivação

Notação científica é uma forma muito conveniente para escrever pequenos ou grandes números e fazer cálculos com eles. Também transmite rapidamente duas propriedades de uma medida que são úteis para os cientistas, algarismos significativos e ordem de grandeza. Escrita em notação científica permite a uma pessoa eliminar zeros na frente ou de trás dos dígitos significativos. Isto é mais útil para medições muito grandes ou muito pequenas em astronomia e no estudo de moléculas. Os exemplos abaixo podem demonstrar isso.

Exemplos

• A massa de um elétron é de cerca de 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg. Na notação científica, isto é escrito 9.109 382 2×10^-31 kg.
• A massa da Terra é de cerca de 5,973,600,000,000,000,000,000,000 kg. Na notação científica, esse valor é representado por 5.9736 . 10²⁴ kg.
• A circunferência da Terra é de aproximadamente 40,000,000 m. Em notação científica fica 4×10⁷ m. Em notação de engenharia, é de 40 ×10⁶ m. No estilo de representação do SI, pode ser escrita 40 Mm (40 megametro).

Descrição

A massa da Via Láctea é de 1 × 10⁴¹ kg^[19]

Notação científica padronizada

A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa (coeficiente) deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira.^[20]

Como transformar

Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo ao princípio de equilíbrio.^[5]

Vejamos o exemplo abaixo:

253.756,42

A notação científica padronizada exige que a mantissa(coeficiente) esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa".

Nesse caso, o expoente é 5.

Observe a transformação passo a passo:

253.756,42
25.375,642 × 10¹
2.537,5642 × 10²
253,75642 × 10³
25,375642 × 10⁴
2,5375642 × 10⁵

1 mol de moléculas tem 6,02 × 10²³ moléculas.^[21]

Um outro exemplo, com valor menor que 1:

0,0000000475
0,000000475 × 10^-1
0,00000475 × 10^-2
0,0000475 × 10^-3
0,000475 × 10^-4
0,00475 × 10^-5
0,0475 × 10^-6
0,475 × 10^-7
4,75 × 10^-8

Desse modo, os exemplos acima ficarão:

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Operações

Adição e subtração

O cérebro humano tem cerca de 1 × 10¹¹ neurônios.^[22]

Para somar ou subtrair dois números em notação científica, é necessário que os expoentes sejam o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.^[23]

Exemplos:

4,2 × 10⁷ + 3,5 × 10⁵ = 4,2 × 10⁷ + 0,035 × 10⁷ = 4,235 × 10⁷

6,32 × 10⁹ - 6,25 × 10⁹ = 0,07 × 10⁹ (não padronizado) = 7 × 10⁷ (padronizado)

Multiplicação

Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido.^[23]

Exemplos:

(6,5 × 10⁸) . (3,2 × 10⁵) = (6,5 · 3,2) × 10⁸⁺⁵ = 20,8 × 10¹³ (não padronizado) = 2,08 × 10¹⁴ (convertido para a notação padronizada)

(4 × 10⁶) · (1,6 × 10^-15) = (4 · 1,6) × 10^6+(-15) = 6,4 × 10^-9 (já padronizado sem necessidade de conversão)

Divisão

Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:^[23]

Exemplos:

(8 × 10¹⁷) / (2 × 10⁹) = (8/2) × 10^17-9 = 4 × 10⁸ (padronizado)

(2,4 × 10^-7) : (6,2 × 10^-11) = (2,4 /6,2) × 10^-7-(-11) ≈ 0,3871 × 10⁴ (não padronizado) = 3,871 × 10³ (padronizado)

Exponenciação

A mantissa é elevada ao expoente externo e o congruente da base dez é multiplicado pelo expoente externo.^[23]

(padronizado)

Radiciação

Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical.^[23]

^[24]